Question

4．設(shè)y=f（x）是二次函數(shù)，方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積；
（3）若直線x=-t（0＜t＜1把y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)即可求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)的積分，根據(jù)積分即可y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積；
（3）由${∫}_{-1}^{-t}$ （ x²+2x+1）dx=${∫}_{-t}^{0}$（ x²+2x+1）dx，解方程即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2，
∴a=1，b=2．∴f（x）=x²+2x+c
又方程f（x）=0有兩個(gè)相等實(shí)根，
∴判別式△=4-4c=0，即c=1．故f（x）=x²+2x+1．
（2）依題意f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
∴所求面積S=${∫}_{-1}^{0}$（x²+2x+1）dx=（$\frac{1}{3}{x}^{3}+{x}^{2}+x$）|${\;}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{3}$．
（3）由題意可得${∫}_{-1}^{-t}$ （ x²+2x+1）dx=${∫}_{-t}^{0}$（ x²+2x+1）dx，
即 （$\frac{1}{3}$x³+x²+x）${|}_{-1}^{-t}$=（$\frac{1}{3}$x³+x²+x）${|}_{-t}^{0}$，
即-$\frac{1}{3}$ t³+t²-t+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$ t³-t²+t，
∴2t³-6t²+6t-1=0，
即2（t-1）³=-1，∴t=1-$\frac{1}{\root{3}{2}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，定積分的應(yīng)用，屬于中檔題．