Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=2lnx-$\frac{3}{x}$-m，若關(guān)于x的方程f（f（x））=x恰有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（　　）

• A． （2ln3-4，+∞）
• B． （-∞，2ln3-4）
• C． （-4，+∞）
• D． （-∞，-4）

Answer 1

分析 令f（x）=x得出m=2lnx-x-$\frac{3}{x}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍，根據(jù)根的個數(shù)判斷m的范圍．

解答 解：∵關(guān)于x的方程f（f（x））=x有解，
∴方程f（x）=x有解，
令f（x）=x得m=2lnx-x-$\frac{3}{x}$，
令g（x）=2lnx-x-$\frac{3}{x}$，則g′（x）=$\frac{2}{x}-1+\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{{x}^{2}}$（x＞0），
令g′（x）＞0得0＜x＜3，令g′（x）＜0得x＞3，
∴g（x）在（0，3）上單調(diào)遞增，在（3，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當x=3時，g（x）取得最大值g（3）=2ln3-4，
∴m≤2ln3-4．
若m=2ln3-4，則g（x）=m只有一解x=3，
∵f（f（x））=x，∴f（x）=3．
∵f′（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）是增函數(shù)，
∴f（x）=3最多只有一解，不符合題意；
∴m＜2ln3-4．
故選B．

點評 本題考查了方程根的個數(shù)與函數(shù)值域的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性與最值的計算，屬于中檔題．