Question

7．若函數f（x）=e^ax+3x有大于零的極值點，則 a的取值范圍是（-∞，-3）．

Answer 1

分析 根據題意，問題可以轉化為f′（x）=3+ae^ax=0有正根，通過討論此方程根為正根，求得參數的取值范圍．

解答 解：設f（x）=e^ax+3x，則f′（x）=3+ae^ax，
∵函數在x∈R上有大于零的極值點，
∴f′（x）=3+ae^ax=0有正根，
①當a≥0時，f′（x）=3+ae^ax＞0，
∴f′（x）=3+ae^ax=0無實數根，
∴函數y=e^ax+3x，x∈R無極值點；
②當a＜0時，由f′（x）=3+ae^ax=0，解得x=$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$），
當x＞$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）時，f′（x）＞0，當x＜$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）時，f′（x）＜0，
∴x=$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）為函數的極值點，
∴$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）＞0，解得a＜-3，
∴實數a的取值范圍是a＜-3．
故答案為：（-∞，-3）．

點評 本題考查了利用導數研究函數的極值，解題時要注意極值點即為導函數等于0的根，從而可以講問題轉化為根的存在性問題進行解決．屬于中檔題．