Question

20．已知f（x）=|x-2|+x²，g（x）=x²-|x-a|+a（a∈R）．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）轉(zhuǎn)化不等式|x-2|+x²≤4為不等式組解集，求解即可．
（II）轉(zhuǎn)化不等式f（x）≥g（x）為不等式f（x）≤g（x）恒成立，推出|a-2|≥a，即可求解a的取值范圍．

解答 解：（I）不等式|x-2|+x²≤4的解集是以下2個不等式組解集的并集：$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\{x^2}+x-6≤0\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x＜2\\{x^2}-x-2≤0\end{array}\right.$，
∴不等式f（x）≤4解集是{x|-1≤x≤2}；…（5分）
（II）不等式f（x）≥g（x）即|x-2|+|x-a|≥a
∵|x-2|+|x-a|=|x-2|+|a-x|≥|a-2|，
∴若不等式f（x）≤g（x）恒成立，則|a-2|≥a，
解得a的取值范圍是{a|a≤1}．…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立的應(yīng)用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．