Question

6．函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式為f（x）=$\frac{2}{x}$-1．
（1）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式．
（3）用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)f（x）在R上的解析式．當(dāng)f（a）=3時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）在（0，+∞）上任取x₁．x₂，且0＜x₁＜x₂，利用作差法，可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，可得當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式．
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，可得函數(shù)的解析式，分類討論滿足條件f（a）=3的a值，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答 解�。�1）在（0，+∞）上任取x₁．x₂，且0＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{2}{{x}_{1}}$-1）（$\frac{2}{{x}_{2}}$-2）…（2分）
=$\frac{2（x2-x1）}{x1x2}$，…（4分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，…（6分）
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)…（7分）
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，…
∴f（-x）=-$\frac{2}{x}$-1，…（2分）
又f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）=-$\frac{2}{x}$-1，…（4分）
即f（x）=$\frac{2}{x}$+1（x＜0）…（6分）
（3）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}-1（x＞0）\\ 0（x=0）\\ \frac{2}{x}+1（x＜0）\end{array}\right\}$…（3分）
當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{2}{a}-1=3⇒a=\frac{1}{2}$…（5分）
當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{2}{a}+1=3⇒a=1$（舍）…（7分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．