Question

4．O為?ABCD所在平面上一點(diǎn)，若$\frac{|\overrightarrow{AB|}}{|\overrightarrow{AD|}}$=$\frac{2}{3}$，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$），$\overrightarrow{OA}$=μ（$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$），則λ的值是（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{2}{3}$
• D． -1

Answer 1

分析 利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理即可得出．

解答 解：如圖所示，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使得AE=2AC，以AE，AB為鄰邊作一個(gè)平行四邊形ABFE，連接對(duì)角線AF．
分別取AB，CD的中點(diǎn)N，M．
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$），$\overrightarrow{OA}$=μ（$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$），
可知：點(diǎn)O是AF與NM的交點(diǎn)．
直線EF與NM相交于點(diǎn)P，直線EF與AD相交與點(diǎn)Q，直線DC與AF相交于點(diǎn)G．
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}$，
∴$\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OM}$．
∵若$\frac{|\overrightarrow{AB|}}{|\overrightarrow{AD|}}$=$\frac{2}{3}$，
∴不妨設(shè)|$\overrightarrow{AB}$|=2，則|$\overrightarrow{AD}$|=3，
∵點(diǎn)C是線段AE的中點(diǎn)，
∴EQ=4，PQ=1，EP=3．
∴$\frac{ON}{OP}=\frac{AN}{FP}$=$\frac{1}{5}$，
∵G為AF的中點(diǎn)，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF=1．
∴$\frac{OM}{OP}=\frac{MG}{FP}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{ON}{OM}=\frac{1}{2}$，
∴$λ=-\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的平行四邊形法則、向量共線定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，難度較大．