Question

12．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，F(xiàn)為橢圓在x軸正半軸上的焦點，M，N兩點在橢圓C上，且$\overrightarrow{MF}=λ\overrightarrow{FN}$（λ＞0），定點A（-4，0），且$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=\frac{106}{3}$；
（1）求橢圓C的方程；
（2）GH是過F點的弦，且當(dāng)$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AG}$×tan∠GAH的值為6$\sqrt{3}$，求出直線GH的方程．

Answer 1

分析 （1）依題意設(shè)M（c，t）、N（c，-t），則t²=$\frac{1}{3}$b²，代入$\frac{106}{3}$=$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（c+4，t）•（c+4，-t）化簡可知c=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AG}$×tan∠GAH=6$\sqrt{3}$及三角形面積公式化簡可知（y₁+y₂）²-4y₁y₂=3，進(jìn)而利用韋達(dá)定理計算可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，MN⊥x軸，
右焦點F（c，0），設(shè)M（c，t）、N（c，-t），則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}}{^{2}}$=1，
∵橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{t}^{2}}{^{2}}$=$\frac{1}{3}$，t²=$\frac{1}{3}$b²，
∴$\frac{106}{3}$=$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（c+4，t）•（c+4，-t）
=c²+8c+16-$\frac{1}{3}$b²
=c²+8c+16-$\frac{1}{3}$（a²-c²）
=$\frac{4}{3}$c²+8c+16-$\frac{1}{3}$a²，
又∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即a²=$\frac{3}{2}$c²，
∴上式可化為：$\frac{5}{6}$c²+8c-$\frac{58}{3}$=0，
解得：c=2，
∴a²=6，b²=2，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由（1）知F（2，0），設(shè)直線GH的方程為：x=my+2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x、整理得：（m²+3）y²+4my-2=0，
設(shè)G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{2}{{m}^{2}+3}$，
∵$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AG}$×tan∠GAH
=|$\overrightarrow{AH}$|•|$\overrightarrow{AG}$|sin∠GAH
=2S_△GAH
=6$\sqrt{3}$，
∴S_△GAH=2$\sqrt{3}$，
又∵S_△GAH=$\frac{1}{2}$|AF|•|y₁-y₂|=3|y₁-y₂|，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$，
∴（y₁+y₂）²-4y₁y₂=3，
即（-$\frac{4m}{{m}^{2}+3}$）²-4（-$\frac{2}{{m}^{2}+3}$）=3，
解得：m=±1，
∴直線GH的方程為：x-y-2=0或x+y-2=0．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．