Question

2．已知x₁、x₂、…、x₂₀₁₅是正數(shù)，且x₁x₂…x₂₀₁₅=1，則（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₂₀₁₅）的最小值是2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 根據(jù)條件，可以利用基本不等式得到：$1+{x}_{1}≥2\sqrt{{x}_{1}}$，$1+{x}_{2}≥2\sqrt{{x}_{2}}$，…，$1+{x}_{2015}≥2\sqrt{{x}_{2015}}$，這些不等式的兩邊都是正數(shù)，從而相乘后不等號(hào)方向不變，再根據(jù)x₁x₂…x₂₀₁₅=1，上面的不等式相乘后便可得到$（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）…（1+{x}_{2015}）≥{2}^{2015}$，并且可以看出等號(hào)是能夠取到的，這便得出了要求的最小值．

解答 解：x₁，x₂，…，x₂₀₁₅是正數(shù)；
∴$1+{x}_{1}≥2\sqrt{{x}_{1}}，{x}_{1}=1$時(shí)取“=”；
$1+{x}_{2}≥2\sqrt{{x}_{2}}，{x}_{2}=1$時(shí)取“=”；
…
1$+{x}_{2015}≥2\sqrt{{x}_{2015}}$，x₂₀₁₅=1時(shí)“=”；
又x₁x₂…x₂₀₁₅=1；
∴（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₂₀₁₅）$≥{2}^{2015}•\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{2015}}={2}^{2015}$，當(dāng)x₁=x₂=…=x₂₀₁₅=1時(shí)取“=”；
∴（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₂₀₁₅）的最小值為2²⁰¹⁵．
故答案為2²⁰¹⁵．

點(diǎn)評(píng) 考查基本不等式在求最小值中的運(yùn)用，注意應(yīng)用基本不等式的條件，并判斷等號(hào)是否取到，不等式的性質(zhì)：同向正的不等式可以相乘，不等號(hào)方向不變．