Question

20．已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長(zhǎng)都是1，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，E、F分別為A₁B₁與BB₁的中點(diǎn)，求異面直線BE與CF所成的角．

Answer 1

分析 由已知得A-BA₁D和C₁-B₁CD₁均為在四面體，B-A₁B₁CD-D₁為正八面體，A₁B₁CD為正方形，棱長(zhǎng)邊長(zhǎng)均為1，作FG∥BE，交A₁B₁于G，連CE，由此利用余弦定理能求出異面直線BE與CF所成的角．

解答 解：∵平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長(zhǎng)都是1，
且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，E、F分別為A₁B₁與BB₁的中點(diǎn)，
∴A-BA₁D和C₁-B₁CD₁均為在四面體，
B-A₁B₁CD-D₁為正八面體，A₁B₁CD為正方形，棱長(zhǎng)邊長(zhǎng)均為1，
作FG∥BE，交A₁B₁于G，連CE，
則CF=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)G=$\frac{BE}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，B₁G=$\frac{1}{4}$，CG=$\frac{\sqrt{17}}{4}$，
∴cos∠CFG=$\frac{F{G}^{2}+C{F}^{2}-C{G}^{2}}{2FG•CF}$=-$\frac{1}{6}$，
∵異面直線BE與CF所成角的余弦值為$\frac{1}{6}$，
∴異面直線BE與CF所成的角為arccos$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意余弦定理的合理運(yùn)用．