Question

11．將一個長寬分別為2米和2k米（0＜k＜1）的鐵皮的四角切去相同的正方形，然后折成一個無蓋的長方體的盒子，記切去的正方形邊長為x（0＜x＜k），
（1）若$k=\frac{5}{8}$，求這個長方體盒子的容積的最大時的x的值；
（2）若該長方體的盒子的對角線長有最小值，求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡V=4（1-x）（k-x）x=4[x³-（1+k）x²+kx]，x∈（0，k），從而求導(dǎo)${V^/}=4[3{x^2}-2（1+k）x+k]=12{x^2}-13x+\frac{5}{2}=0$，$x∈（0，\frac{5}{8}）$；從而確定函數(shù)的最大值即可；
（2）記長方體的盒子的對角線長度為l米，從而可得$l=\sqrt{{{（2-2x）}^2}+{{（2k-2x）}^2}+{x^2}}=\sqrt{9{x^2}-8（1+k）x+4（1+{k^2}）}x∈（0，k）$，從而可得$\frac{4（1+k）}{9}∈（0，k）$，
從而解得．

解答 解：（1）V=4（1-x）（k-x）x=4[x³-（1+k）x²+kx]，x∈（0，k），
${V^/}=4[3{x^2}-2（1+k）x+k]=12{x^2}-13x+\frac{5}{2}=0$，$x∈（0，\frac{5}{8}）$；
解得$x=\frac{5}{6}$（舍去），$x=\frac{1}{4}$；
故函數(shù)V在（0，$\frac{1}{4}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{8}$）上單調(diào)遞減；
故這個長方體盒子的容積的最大時的x的值為$\frac{1}{4}$．
（2）記長方體的盒子的對角線長度為l米，
則$l=\sqrt{{{（2-2x）}^2}+{{（2k-2x）}^2}+{x^2}}=\sqrt{9{x^2}-8（1+k）x+4（1+{k^2}）}x∈（0，k）$，
∵l有最小值，
∴$\frac{4（1+k）}{9}∈（0，k）$，
解得$\frac{4}{5}＜k＜1$．
故k的范圍為（$\frac{4}{5}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．