Question

15．在平面直角坐標系中，O為原點A（-1，0），B（0，$\sqrt{5}$），C（3，0），動點D滿足|$\overrightarrow{CD}$|=1，則|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$|的最大值是4．

Answer 1

分析 設(shè)D（x，y），由題意和兩點之間的距離公式求出動點D的軌跡方程和軌跡，由向量的坐標運算求出$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$的坐標，再判斷出$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}|$的幾何意義，并求出最大值．

解答 解：設(shè)D（x，y），
因為C（3，0），動點D滿足|$\overrightarrow{CD}$|=1，
所以（x-3）²+y²=1，
則動點D的軌跡是以（3，0）為圓心、以1為半徑的圓，
由A（-1，0），B（0，$\sqrt{5}$）得，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$=（x-1，y+$\sqrt{5}$），
則$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}|$的幾何意義是點（1，-$\sqrt{5}$）到圓（x-3）²+y²=1上的點的距離，
因為點（1，-$\sqrt{5}$）在圓外，所以$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}|$的最大值是：$\sqrt{{（1-3）}^{2}+{（-\sqrt{5}）}^{2}}$+1=4，
故答案為：4．

點評 本題考查了向量的坐標運算，兩點之間的距離公式，動點的軌跡方程，以及代數(shù)式子的幾何意義，屬于中檔題．