Question

19．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，
（1）求證：$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}≤2\sqrt{2}$；
（2）求$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）先證正數(shù)x，y滿足x+y≤$\sqrt{2（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，類比基本不等式求最值可得；
（2）由題意可得$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（$\frac{13}{2}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{9a}{2b}$），由基本不等式可得．

解答 解：（1）先證正數(shù)x，y滿足x+y≤$\sqrt{2（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，
平方作差可得（x+y）²-2（x²+y²）=-（x-y）²≤0，
∴x+y≤$\sqrt{2（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，當且僅當x=y時取等號，
∴由a＞0，b＞0，且a+b=2可得$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+1}$≤$\sqrt{2[（a+1）+（b+1）]}$=2$\sqrt{2}$，
當且僅當$\sqrt{a+1}$=$\sqrt{b+1}$即a=b=1時取等號；
（2）$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（$\frac{13}{2}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{9a}{2b}$）
≥$\frac{1}{2}$（$\frac{13}{2}$+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{9a}{2b}}$）=$\frac{25}{4}$
當且僅當$\frac{2b}{a}$=$\frac{9a}{2b}$即a=$\frac{4}{5}$且b=$\frac{6}{5}$時取等號，
∴$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$的最小值為$\frac{25}{4}$

點評 本題考查基本不等式求最值，湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關鍵，屬中檔題．