Question

2．坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcos（$θ-\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．
（1）求曲線C₁的普通方方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若P是曲線C₂上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P向曲線C₁引切線，切點(diǎn)為Q，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示cosα，sinα，根與同角三角函數(shù)的關(guān)系消去參數(shù)得到C₁的普通方程，將C₂的極坐標(biāo)方程左側(cè)展開即可得到直角坐標(biāo)方程；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)可得當(dāng)P到圓心的距離最小時，|PQ|也最�。�

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x+2}{-2}}\\{sinα=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
∴曲線C₁的普通方程為（x+2）²+y²=4．
∵ρcos（$θ-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．∴$\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ=\sqrt{2}$，即ρcosθ+ρsinθ-2=0．
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0．
（2）設(shè)曲線C₁的圓心為M（-2，0），半徑r=2，則M到直線C₂的距離d=$\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$．
∵PQ²=MP²-r²=MP²-4，∴MP取得最小值2$\sqrt{2}$時，PQ取得最小值．
∴|PQ|的最小值為$\sqrt{t3plbdz^{2}-4}$=2．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系．通常轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)取求解．