Question

12．在等比數(shù)列{a_n}中，
（1）S₂=30，S₃=155，求S_n；
（2）a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$，求S₅；
（3）a_n＞0，S_n=80，S_2n=6560，前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為54，求a₁，q．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（3）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式及其數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）S₂=30，S₃=155，
∴公比q≠1，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+q）=30}\\{{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）=155}\end{array}\right.$，解得a₁=q=5，或$q=-\frac{5}{6}$，a₁=180．
∴S_n=$\frac{5（{5}^{n}-1）}{5-1}$=$\frac{{5}^{n+1}-5}{4}$或S_n=$\frac{180[1-（-\frac{5}{6}）^{n}]}{1-（-\frac{5}{6}）}$=$\frac{1080}{11}[1-（-\frac{5}{6}）^{n}]$．
（2）∵a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+{q}^{2}）=10}\\{{a}_{1}{q}^{3}（1+{q}^{2}）=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴S₅=$\frac{8[1-（\frac{1}{2}）^{5}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{2}$．
（3）a_n＞0，S_n=80，S_2n=6560，設(shè)公比為q≠1．
則$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=80，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=6560，
可得qⁿ=81，a₁=q-1．
${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$=$\frac{81}{q}$（q-1）=81-$\frac{81}{q}$≤54，可得q≤3．
∵a_n＞0，∴1＜q≤3．
解得a₁=2，q=3，n=4，滿足前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為54．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．