Question

16．函數(shù)f（x）=x³+2x²+x．
（1）求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)于任意x∈（0，+∞），f（x）≥ax²恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定切線上一點(diǎn)（1，f（1）），確定斜率k=k=f′（1）
（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性
（3）因?yàn)閤²非負(fù)，不等式兩邊同時(shí)除以ax²，轉(zhuǎn)換為x+2+$\frac{1}{x}$≥4再求最小值即可

解答 解：（1）f（x）=x³+2x²+x
f（1）=4
f′（x）=3x²+4x+1
k=f′（1）=8
∴切線方程為y-4=8（x-1）即y=8x-4
（2）f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令f′（x）=0得x=-$\frac{1}{3}$或x=-1
當(dāng)在（-∞，-1）和（-$\frac{1}{3}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）遞增
在（-1，-$\frac{1}{3}$）上，f′（x）＜0，f（x）遞減
（3）f（x）≥ax²恒成立
∴x³+2x²+x≥ax²
∴x+2+$\frac{1}{x}$≥a
∵x+2+$\frac{1}{x}$≥4
∴a≤4

點(diǎn)評(píng) 考察了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用和恒成立問題的轉(zhuǎn)換．把恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題是常有方法，要結(jié)合題的特點(diǎn)，簡(jiǎn)化試題．