Question

10．已知點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函數(shù)f（x）=2^x的圖象上任意不同的兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立．運(yùn)用類比的思想方法可得下列結(jié)論
（1）f（x）=sinx，（0＜x＜π）有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立
（2）f（x）=lnx有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立
（3）f（x）=x³，（x＞0）有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立
（4）f（x）=tanx，（0＜x＜$\frac{π}{2}$）有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立
其中，正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)y=2^x的圖象可知，此函數(shù)的圖象是向下凹的，即可得到$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立，再根據(jù)函數(shù)圖象的特征，即可類比得到相應(yīng)的不等式．

解答 解：∵函數(shù)y=2^x上任意兩點(diǎn)A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，
∴函數(shù)y=2^x上的圖象是向下凹的，
可得不等式$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
據(jù)此，（1）y=sinx（x∈（0，π））圖象可以看出：y=sinx（x∈（0，π））圖象是向上凸的，故可知$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立，故不正確；
（2）f（x）=lnx是向下凹的，有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立，故不正確；
（3）f（x）=x³，（x＞0）是向下凹的，有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立，故正確；
（4）f（x）=tanx，（0＜x＜$\frac{π}{2}$）是向下凹的，有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立，故正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查類比推理的知識(shí)點(diǎn)，還考查了數(shù)形結(jié)合思想，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的凸凹性，常用方法是圖象法．