Question

18．數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-1；
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=3n-2，求數列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數列的通項和求和之間的關系，結合等比數列的通項公式即可得到所求；
（2）由數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，計算即可得到．

解答 解：（1）數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-1，
n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，可得a₁=1，
n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，
由S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，
兩式相減可得，a_n=2a_n-2a_n-1，
即為a_n=2a_n-1，
則數列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1；
（2）a_nb_n=（3n-2）•2^n-1，
T_n=1•1+4•2+7•4+…+（3n-2）•2^n-1，
2T_n=1•2+4•4+7•8+…+（3n-2）•2ⁿ，
兩式相減可得，-T_n=1+3（2+4+…+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ
=1+3•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-2）•2ⁿ
化簡可得，T_n=5-（5-3n）•2ⁿ．

點評 本題考查數列的通項和求和之間的關系，考查等比數列的通項和求和公式的運用，考查數列的求和方法：錯位相減法，屬于中檔題．