Question

12．若x，y∈R⁺，xy²=4，則x+2y的最小值，x+y的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得到$x=\frac{4}{{y}^{2}}$，從而根據(jù)三個(gè)數(shù)的均值不等式可以得到$x+2y=\frac{4}{{y}^{2}}+y+y≥3\root{3}{4}$，并可得出“=”成立的條件，這樣便可求出x+2y的最小值，而同理可以求出x+y的最小值．

解答 解：∵x，y∈R⁺，xy²=4；
∴$x=\frac{4}{{y}^{2}}$；
∴$x+2y=\frac{4}{{y}^{2}}+y+y≥3\root{3}{\frac{4}{{y}^{2}}•y•y}=3\root{3}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\root{3}{4}$時(shí)取“=”；
∴x+2y的最小值為$3\root{3}{4}$；
同理，$x+y=\frac{4}{{y}^{2}}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}≥3\root{3}{\frac{4}{{y}^{2}}•\frac{y}{2}•\frac{y}{2}}=3$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=2時(shí)取“=”；
∴x+y的最小值為3．

點(diǎn)評(píng) 考查基本不等式用于求最值的方法，注意在應(yīng)用$a+b+c≥3\root{3}{abc}$求a+b+c最小值時(shí)，應(yīng)使得abc為常數(shù)，且a，b，c＞0，并會(huì)判斷“=”成立的條件．