Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)在同一直線上的充要條件為存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{OC}$=λ•$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）•$\overrightarrow{OB}$成立，此時(shí)稱實(shí)數(shù)λ為“向量$\overrightarrow{OC}$關(guān)于$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”．若已知P₁（3，1）、P₂（-1，3），P₁，P₂，P₃三點(diǎn)共線且向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$與向量$\overrightarrow{a}$=（1，-1）共線，則“向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$關(guān)于$\overrightarrow{O{P}_{1}}$和$\overrightarrow{O{P}_{2}}$的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”為（　�。�

• A． -3
• B． 3
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 設(shè)向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=（x，y），由于向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$與向量$\overrightarrow{a}$=（1，-1）共線，可得y+x=0．由于P₁，P₂，P₃三點(diǎn)共線，可得$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=λ•$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+（1-λ）•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$，即（x，y）=λ（3，1）+（1-λ）（-1，3），解出x，y代入即可得出．

解答 解：設(shè)向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=（x，y），∵向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$與向量$\overrightarrow{a}$=（1，-1）共線，∴y+x=0．
∵P₁，P₂，P₃三點(diǎn)共線，
∴$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=λ•$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+（1-λ）•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$，
∴（x，y）=λ（3，1）+（1-λ）（-1，3），
∴x=3λ+λ-1=4λ-1，y=λ+3（1-λ）=3-2λ，
代入y+x=0，可得2λ+2=0，
解得λ=-1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．