Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{sin^2}x$．
（1）求$f（\frac{π}{12}）$的值；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)可求函數(shù)解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，代入x=$\frac{π}{12}$即可求值；
（2）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得f（x）的值域．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{sin^2}x$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x+1$=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
∴$f（\frac{π}{12}）$=2sin（$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+1=1；…（7分）
（2）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．