Question

17．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（2）產(chǎn)品的產(chǎn)量與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗之間的關(guān)系是否具有線性相關(guān)性？若具有，請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat y$=bx+a；
（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤． 試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？
計(jì)算第（2）（3）問時(shí)可能會(huì)用到的參考信息：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5參考公式：回歸直線方程：$\widehaty=\widehatbx+\widehata$
線性回歸方程中a，b的估計(jì)值$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{（\overline x）}^2}}}}$
參考公式：其中，a=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$  $\hat a=\bar y-b\bar x$．

Answer 1

分析 （1）把所給的四對(duì)數(shù)據(jù)寫成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來，得到散點(diǎn)圖．
（2）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個(gè)數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點(diǎn)代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（3）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，即可估計(jì)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗

解答 解：（1）把所給的四對(duì)數(shù)據(jù)寫成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來，得到散點(diǎn)圖．
（2）由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得$\sum _{i=1}^{4}$x_i²=86，$\sum _{i=1}^{4}$x_iy_i=66.5，$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴回歸方程的系數(shù)為$\widehat$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×{4.5}^{2}}$=0.7，$\widehat{a}=\overline{y}-b\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求線性回歸方程為y=0.7x+0.35
（3）由（2）求出的線性回歸方程，估計(jì)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為0.7×100+0.35=70.35（噸），
由90-70.35=19.65，
∴生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低19.65噸．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，兩個(gè)變量之間的關(guān)系，除了函數(shù)關(guān)系，還存在相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程，就可以根據(jù)其部分觀測(cè)值，獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間整體關(guān)系的了解．