Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=log₂x-log_x4（0＜x＜1），數(shù)列{a_n}的通項a_n滿足f（2${\;}^{{a}_{n}}$）=2n（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）=log₂x-$\frac{2}{lo{g}_{2}x}$，由條件，可得a_n²-2na_n-2=0，解方程即可得到所求通項；
（2）運用分子有理化，化簡a_n，再比較a_n+1與a_n的大小關(guān)系，即可得證．

解答 解：（1）f（x）=log₂x-log_x4=log₂x-$\frac{2}{lo{g}_{2}x}$，
f（2${\;}^{{a}_{n}}$）=2n（n∈N⁺）．
即log₂${2}^{{a}_{n}}$-$\frac{2}{lo{g}_{2}{2}^{{a}_{n}}}$=2n，
即有a_n²-2na_n-2=0，此時0＜2${\;}^{{a}_{n}}$＜1，a_n＜0，
∴a_n=n-$\sqrt{{n}^{2}+2}$；
（2）證明：a_n=n-$\sqrt{{n}^{2}+2}$=-$\frac{2}{\sqrt{{n}^{2}+2}+n}$，
a_n+1=-$\frac{2}{\sqrt{（n+1）^{2}+2}+（n+1）}$，
由于$\sqrt{{n}^{2}+2}$+n是遞增數(shù)列，
即有$\sqrt{（n+1）^{2}+2}$+（n+1）＞$\sqrt{{n}^{2}+2}$+n，
則$\frac{2}{\sqrt{（n+1）^{2}+2}+（n+1）}$＜$\frac{2}{\sqrt{{n}^{2}+2}+n}$，
即有a_n+1＞a_n，
則數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用方程的思想，考查數(shù)列單調(diào)性的判斷，注意數(shù)列相鄰兩項大小的比較，屬于中檔題．