Question

13．已知a，b，x，y∈R⁺，且$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$=1，求x+y的最小值．

Answer 1

分析 整體代入可得x+y=（$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$）（x+y）=a+b+$\frac{ay}{x}$+$\frac{bx}{y}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a，b，x，y∈R⁺，且$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$=1，
∴x+y=（$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$）（x+y）=a+b+$\frac{ay}{x}$+$\frac{bx}{y}$
≥a+b+2$\sqrt{\frac{ay}{x}•\frac{bx}{y}}$=a+b+2$\sqrt{ab}$=$（\sqrt{a}+\sqrt）^{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{ay}{x}$=$\frac{bx}{y}$時(shí)取等號(hào)，
聯(lián)立$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$=1和$\frac{ay}{x}$=$\frac{bx}{y}$可得x=a+$\sqrt{\frac{a}}$且y=$\sqrt{ab}$+1時(shí)，x+y取最小值$（\sqrt{a}+\sqrt）^{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，整體代入化為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．