Question

12．已知，x，y，z∈R⁺，且x²+y²+z²=1，則$\frac{（z+1）^{2}}{xyz}$的最小值是6+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得1-z²=x²+y²，根據(jù)基本不等式x²+y²≥2xy，化簡即可．

解答 解：由題意可得，0＜z＜1，0＜1-z＜1
S=$\frac{（z+1）^{2}}{xyz}$≥$\frac{2（1+z）^{2}}{（{x}^{2}+{y}^{2}）z}$=$\frac{2（1+z）}{（1-z）z}$，
令t=1+z＞1，則S=$\frac{2t}{-{t}^{2}+3t-2}$=$\frac{2}{3-（t+\frac{2}{t}）}$≥$\frac{2}{3-2\sqrt{2}}$=6+4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{（z+1）^{2}}{xyz}$的最小值是6+4$\sqrt{2}$．
故答案為：6+4$\sqrt{2}$．

點評 本小題主要考查基本不等式的應(yīng)用、配湊法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．