Question

18．已知函數y=f（x）的定義域為D，且f（x）同時滿足以下條件：
①f（x）在D上是單調遞增或單調遞減函數；
②存在閉區(qū)間[a，b]?D（其中a＜b），使得當x∈[a，b]時，f（x）的取值集合也是[a，b]．那么，我們稱函數y=f（x）（x∈D）是閉函數．
（1）判斷f（x）=-x³是不是閉函數？若是，找出條件②中的區(qū)間；若不是，說明理由．
（2）若f（x）=k+$\sqrt{x+2}$是閉函數，求實數k的取值范圍．
（注：本題求解中涉及的函數單調性不用證明，直接指出是增函數還是減函數即可）

Answer 1

分析 （1）由條件利用閉函數的定義判斷f（x）=-x³是不是閉函數．
（2）根據閉函數的定義，a，b是方程x²-（2k+1）x+k²-2=0的兩根，且a≥k，b＞k．令f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，得$\left\{\begin{array}{l}{f（k）≥0}\\{△＞0}\\{\frac{2k+1}{2}＞k}\end{array}\right.$，由此求得k的范圍．

解答 解：（1）f（x）=-x³在R上是減函數，滿足①；
設存在區(qū)間[a，b]，f（x）的取值集合也是[a，b]，則$\left\{\begin{array}{l}{{-a}^{3}=b}\\{{-b}^{3}=a}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=1，
所以存在區(qū)間[-1，1]滿足②，
所以f（x）=-x³（x∈R）是閉函數．
（2）f（x）=k+$\sqrt{x+2}$在[-2，+∞）上的增函數，
由題意知，f（x）=k+$\sqrt{x+2}$是閉函數，存在區(qū)間[a，b]滿足②，即：$\left\{\begin{array}{l}{k+\sqrt{a+2}=a}\\{k+\sqrt{b+2}=b}\end{array}\right.$．
即a，b是方程k+$\sqrt{x+2}$=x的兩根，化簡得，
a，b是方程x²-（2k+1）x+k²-2=0的兩根，且a≥k，b＞k．
令f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，得$\left\{\begin{array}{l}{f（k）≥0}\\{△＞0}\\{\frac{2k+1}{2}＞k}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{9}{4}$＜k≤-2，所以實數k的取值范圍為（-$\frac{9}{4}$，-2]．

點評 本題主要考查閉函數的定義，函數的單調性的性質，屬于中檔題．