Question

20．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{k}{x}$，其中k為常數(shù)，f（1）=5．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（3）求證：f（x）在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=5可得k的方程，解方程可得k值，可得解析式；
（2）函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱，結(jié)合奇函數(shù)的定義可判；
（3）任取x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，作出證明f（x₁）-f（x₂）＞0，由單調(diào)性的定義可判．

解答 解：（1）∵f（x）=x+$\frac{k}{x}$，f（1）=5，
∴1+k=5，解得k=4，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x+$\frac{4}{x}$；
（2）∵函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱，
f（-x）=（-x）+$\frac{4}{-x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（3）任取x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{4}{{x}_{1}}$-$\frac{4}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，∴$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解方法，涉及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的證明，屬中檔題．