Question

15．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：①對于任意的x∈R，都有f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$；②函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)；③當x∈（0，2]時，f（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，設(shè)a=f（-5），b=f（$\frac{19}{2}$），c=f（$\frac{41}{4}$），則a，b，c的大小關(guān)系（　　）

• A． b＜a＜c
• B． c＜a＜b
• C． b＜c＜a
• D． a＜b＜c

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)y=f（x）為周期為4的函數(shù)，從而可得c=f（$\frac{41}{4}$）=f（$\frac{9}{4}$），b=f（$\frac{19}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），利用函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，可得a=f（-5）=f（3）=f（1），利用單調(diào)性即可求解．

解答 解：∵對于任意的x∈R，都有f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=f（x），故函數(shù)y=f（x）為周期為4的函數(shù)．
∴b=f（$\frac{19}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），
∵函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)
∴f（-x+2）=f（x+2），
∴a=f（-5）=f（3）=f（1），
∵當x∈（0，2]時，f（x）=e^x-$\frac{1}{x}$是增函數(shù)，1＜$\frac{3}{2}$，
∴0＜a＜b，
c=f（$\frac{41}{4}$）=f（$\frac{9}{4}$）=-$\frac{1}{f（\frac{1}{4}）}$＜0，
∴c＜a＜b．
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．