Question

15．令a_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{60}$+…+$\frac{1}{{nC}_{n-1}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1{）C}_{n}^{2}}$，求a_n．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)$\frac{1}{（n+1{）C}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{（n+1）\frac{n（n-1）}{2×1}}$=$\frac{1}{（n-1）n}$-$\frac{1}{n（n+1）}$，從而解得．

解答 解：∵$\frac{1}{（n+1{）C}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{（n+1）\frac{n（n-1）}{2×1}}$
=$\frac{1}{（n-1）n}$-$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴a_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{60}$+…+$\frac{1}{{nC}_{n-1}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1{）C}_{n}^{2}}$
=（$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×3}$）+（$\frac{1}{2×3}$-$\frac{1}{3×4}$）+（$\frac{1}{3×4}$-$\frac{1}{4×5}$）+（$\frac{1}{4×5}$-$\frac{1}{5×6}$）+…+（$\frac{1}{（n-1）n}$-$\frac{1}{n（n+1）}$）
=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{{n}^{2}+n-2}{2{n}^{2}+2n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，同時(shí)考查了裂項(xiàng)求和的應(yīng)用，屬于中檔題．