Question

14．設(shè)a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-2x}$有最大值，則不等式log_a（x-2）＞0的解集是（2，3）．

Answer 1

分析 令t=x²-2x=（x-1）²-1，可得x=1時，t有最小值，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得0＜a＜1，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得不等式0＜x-2＜1，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：令t=x²-2x=（x-1）²-1，
當x=1時，t有最小值-1；
由函數(shù)f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-2x}$有最大值，
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得0＜a＜1，
不等式log_a（x-2）＞0，即為
0＜x-2＜1，解得2＜x＜3，
即有不等式的解集為（2，3）．
故答案為：（2，3）．

點評 本題考查對數(shù)不等式的解法，考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，同時考查二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．