Question

9．己知y=f（x）為R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且xf′（x）+f（x）＞0，則函數(shù)g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零點個數(shù)為0．

Answer 1

分析 求導(dǎo)g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，從而可得g（x）在其定義域上單調(diào)遞增；再由g（0）=0+1=1，從而判斷．

解答 解：∵g（x）=xf（x）+1，
∴g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
故g（x）在其定義域上單調(diào)遞增；
∵y=f（x）為R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）=xf（x）+1在R上連續(xù)；
又∵g（0）=0+1=1，
∴函數(shù)g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零點個數(shù)為0；
故答案為：0．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點的判定定理的應(yīng)用．