Question

6．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，且|F₁F₂|=2c，若橢圓上存在點(diǎn)P使得|PF₁|•|PF₂|=2c²，則橢圓的離心率的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，聯(lián)立|PF₁|•|PF₂|=2c²，求出|PF₂|，由|PF₂|≥a-c求得橢圓的離心率的最小值．

解答 解：由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a}\\{|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|=2{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$|P{F}_{2}|=a-\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$或$|P{F}_{2}|=a+\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$．
∵$a-\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}≤a+\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$，
∴由$a-\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}≥a-c$，得$c≥\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$，
兩邊平方得：c²≥a²-2c²，即3c²≥a²，∴$e≥\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即橢圓的離心率的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．