Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-mx+2的兩個(gè)零點(diǎn)為x=1和x=n．
（1）求m，n的值；
（2）若函數(shù)g（x）=x²-ax+2（a∈R）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，解關(guān)于x的不等式log_a（nx+m-2）＜0．

Answer 1

分析 （1）由題意即知x=1，x=n是方程x²-mx+2=0的兩個(gè)解，利用韋達(dá)定理即可求出m=3，n=2；
（2）由二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出a＞2，從而函數(shù)y=log_ax為增函數(shù)，從而由原不等式可得到0＜2x+1＜1，解該不等式即得原不等式的解．

解答 解：（1）根據(jù)題意，x=1和x=n是方程x²-mx+2=0的兩個(gè)解；
由根和系數(shù)的關(guān)系可知$\left\{\begin{array}{l}{1+n=m}\\{1•n=2}\end{array}\right.$；
∴m=3，n=2；
（2）函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{a}{2}$；
∵g（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減；
∴$\frac{a}{2}≥1$；
∴a≥2；
∴由log_a（2x+1）＜0得0＜2x+1＜1；
∴$-\frac{1}{2}＜x＜0$；
∴不等式的解集為$（-\frac{1}{2}，0）$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)零點(diǎn)的概念，弄清函數(shù)零點(diǎn)和對(duì)應(yīng)方程解的關(guān)系，韋達(dá)定理，以及二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．