Question

16．用定義法討論f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0，a＞0）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 x₁＞x₂＞0，結(jié)合a＞0，討論f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)x₁＞x₂＞0，a＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{a}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{a}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵當(dāng)0＜x₂＜x₁≤$\sqrt{a}$時(shí)，恒有$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞1．
則f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)．
當(dāng)x₁＞x₂≥$\sqrt{a}$時(shí)，恒有0＜$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜1，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，故f（x）在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，作差法是證明和判斷單調(diào)性時(shí)最常用的方法．