Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$（a≠0）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a=1，求證：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（x）≥3-x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）a=1時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，定義域是x＞0，設(shè)F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-3，由F（x）_min=F（1）=0，能夠證明f（x）≥3-x．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=a1nx+$\frac{{2a}^{2}}{x}$（a≠0），
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{2a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{a（x-2a）}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得，x＞2a；由f′（x）＜0得，x＜2a．
∴f（x）（a≠0）的增區(qū)間是（2a，+∞），減區(qū)間是（0，2a）．
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＜0恒成立，故f（x）（a≠0）在（0，+∞）遞減；
（Ⅱ）證明：a=1時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，定義域是x＞0，
設(shè)F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-3，
F′（x）=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=0，
x²+x-2=0
∴x=1，x=-2（舍去）
當(dāng)F′（x）＞0時(shí)，x＞1；
當(dāng)F′（x）=0時(shí)，x=1；
當(dāng)F′（x）＜0時(shí)，x＞1．
∴F（x）_min=F（1）=0+1+2-3=0
∴F（x）≥0，
∴f（x）≥3-x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，合理地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解題．