Question

14．設平面內(nèi)有四個向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$，滿足$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1．
（1）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$；
（2）若$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意解關于$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$的方程組可得；
（2）由（1）知結(jié)合向量的數(shù)量積和模長公式可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$及|$\overrightarrow{m}$|和|$\overrightarrow{n}$|，代入向量的夾角公式可得．

解答 解：（1）由題意可得$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$，
聯(lián)立解關于$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$的方程組可得$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$；
（2）由（1）知$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，又$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=3，
由模長公式可得|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積和模長公式，以及向量的夾角公式，屬基礎題．