Question

8．A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間（單位：天）記錄如下：
A組：10，11，12，13，14，15，16
B組；12，13，15，16，17，14，a
假設(shè)所有病人的康復(fù)時間相互獨立，從A，B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙．
（Ⅰ）求甲的康復(fù)時間不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；
（Ⅲ）當(dāng)a為何值時，A，B兩組病人康復(fù)時間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）

Answer 1

分析 設(shè)事件A_i為“甲是A組的第i個人”，事件B_i為“乙是B組的第i個人”，由題意可知P（A_i）=P（B_i）=$\frac{1}{7}$，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件等價于“甲是A組的第5或第6或第7個人”，由概率公式可得；
（Ⅱ）設(shè)事件“甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長”C=A₄B₁∪A₅B₁∪A₆B₁∪A₇B₁∪A₅B₂∪A₆B₂∪A₇B₂∪A₇B₃∪A₆B₆∪A₇B₆，易得P（C）=10P（A₄B₁），易得答案；
（Ⅲ）由方差的公式可得．

解答 解：設(shè)事件A_i為“甲是A組的第i個人”，事件B_i為“乙是B組的第i個人”，
由題意可知P（A_i）=P（B_i）=$\frac{1}{7}$，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件“甲的康復(fù)時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5或第6或第7個人”
∴甲的康復(fù)時間不少于14天的概率P（A₅∪A₆∪A₇）=P（A₅）+P（A₆）+P（A₇）=$\frac{3}{7}$；
（Ⅱ）設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長”，
則C=A₄B₁∪A₅B₁∪A₆B₁∪A₇B₁∪A₅B₂∪A₆B₂∪A₇B₂∪A₇B₃∪A₆B₆∪A₇B₆，
∴P（C）=P（A₄B₁）+P（A₅B₁）+P（A₆B₁）+P（A₇B₁）+P（A₅B₂）+P（A₆B₂）+P（A₇B₂）+P（A₇B₃）+P（A₆B₆）+P（A₇B₆）
=10P（A₄B₁）=10P（A₄）P（B₁）=$\frac{10}{49}$
（Ⅲ）當(dāng)a為11或18時，A，B兩組病人康復(fù)時間的方差相等．

點評 本題考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，屬基礎(chǔ)題．