Question

2．判斷下列函數(shù)的奇偶性．
（1）f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$；
（2）f（x）=（x+1）$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1（x＞0）}\\{{x}^{2}+2x-1（x＜0）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）由4-x²≥0可得-2≤x≤2，求出f（-x），判斷與f（x）的關(guān)系，即可判斷奇偶性；
（2）由$\frac{1-x}{1+x}$≥0，解得-1＜x≤1，定義域為（-1，1]不關(guān)于原點對稱，即可判斷奇偶性；
（3）定義域關(guān)于原點對稱，分別考慮x＞0，x＜0，取相反數(shù)時f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可判斷奇偶性．

解答 解：（1）由4-x²≥0可得-2≤x≤2，
定義域為[-2，2]關(guān)于原點對稱，
又f（-x）=$\frac{\sqrt{4-（-x）^{2}}}{-x}$=-$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（2）由$\frac{1-x}{1+x}$≥0，解得-1＜x≤1，
定義域為（-1，1]不關(guān)于原點對稱，
則f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；
（3）定義域為{x|x≠0且x∈R}關(guān)于原點對稱，
當(dāng)x＞0時，-x＜0，即有f（-x）=x²-2x-1=-（-x²+2x+1）=-f（x），
當(dāng)x＜0時，-x＞0，即有f（-x）=-x²-2x+1=-（x²+2x-1）=-f（x），
即有f（-x）=-f（x）．
則有函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，一是看定義域是否關(guān)于原點對稱，二是看-x與x函數(shù)值之間的關(guān)系．