Question

6．已知集合A={x|x²-（2a+6）x-3a²-2a+5＜0}，B={x|x＜1或x≥4}．
（1）當(dāng)A∪B=R時，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)∁_RB⊆∁_RA時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論a的范圍，表示出A中不等式的解集，確定出A，根據(jù)A與B的并集為R，確定出a的范圍即可；
（2）討論a的范圍，根據(jù)B補集為A補集的子集，確定出a的范圍即可．

解答 解：（1）由A中不等式變形得：（x-3a-5）（x+a-1）＜0，
當(dāng)3a+5＞1-a，即a＞-1時，解得：1-a＜x＜3a+5，即A=（1-a，3a+5），
∵B=（-∞，1）∪[4，+∞），且A∪B=R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜1}\\{3a+5≥4}\end{array}\right.$，即a＞0；
當(dāng)3a+5＜1-a，即a＜-1時，解得：3a+5＜x＜1-a，即A=（3a+5，1-a），
∵B=（-∞，1）∪[4，+∞），且A∪B=R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+5＜1}\\{1-a≥4}\end{array}\right.$，即a≤-3，
綜上，a的范圍為a≤-3或a＞0；
（2）全集為R，
當(dāng)3a+5=1-a，即a=-1時，A=∅，∁_RA=R，顯然成立．
當(dāng)3a+5＞1-a，即a＞-1時，A=（1-a，3a+5），B=（-∞，1）∪[4，+∞），
∴∁_RA=（-∞，1-a]∪[3a+5，+∞），∁_RB=[1，4），
∵∁_RB⊆∁_RA，
∴1-a≥4或3a+5≤1，
解得：a≤-3，
此時a無解；
當(dāng)3a+5＜1-a，即a＜-1時，A=（3a+5，1-a），
∴∁_RA=（-∞，3a+5]∪[1-a，+∞），∁_RB=[1，4），
∵∁_RB⊆∁_RA，
∴3a+5≥4或1-a＜1，且a＜-1，無解，
綜上，a的范圍為{-1}．

點評 此題考查了并集及其運算，以及補集及其運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．