Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-alnx在[1，+∞）是增函數(shù)．
（1）求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=2，b＞-1時(shí)，若對(duì)于任意的x∈（0，1]，都有f（x）≥2bt-$\frac{1}{{t}^{2}}$在t∈（0，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得，f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，即有a≤2x²在[1，+∞）恒成立，運(yùn)用二次函數(shù)求得右邊的最小值即可；
（2）求得f（x）在（0，1]的單調(diào)性，可得最小值為1，再由參數(shù)分離可得2b≤$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{{t}^{3}}$在（0，1]上恒成立．求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到b的范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²-alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$，
由題意可得，f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
即有a≤2x²在[1，+∞）恒成立，
由于2x²≥2，x=1時(shí)，取得最小值2．
則a≤2；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-2lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f′（x）≤0，f（x）遞減，當(dāng)x=1時(shí)，取得最小值1．
f（x）≥2bt-$\frac{1}{{t}^{2}}$在（0，1]上恒成立，即為2bt-$\frac{1}{{t}^{2}}$≤1在（0，1]上恒成立．
即有2b≤$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{{t}^{3}}$在（0，1]上恒成立．
由于$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{{t}^{3}}$在（0，1]上的導(dǎo)數(shù)-$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{3}{{t}^{4}}$＜0，函數(shù)遞減．
即有t=1時(shí)，取得最小值2．
則有2b≤2，解得b≤1，
又b＞-1，即-1＜b≤1．
則有b的取值范圍是（-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運(yùn)用參數(shù)分離和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．