Question

13．已知函數(shù)f（x）=（x²-ax+a）e^x-x²，a∈R．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（1）=0，解方程即可得到a的值；
（2）由題意可得，f′（x）=e^x[x²+（2-a）x]-2x≥0在（0，+∞）上恒成立．運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，求得右邊函數(shù)的范圍，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax+a）e^x-2x
=e^x[x²+（2-a）x]-2x，
由f（x）在x=1處取得極值，
則f′（1）=0，即e（1+2-a）-2=0，
解得a=3-$\frac{2}{e}$；
（2）由題意可得，f′（x）=e^x[x²+（2-a）x]-2x≥0在（0，+∞）上恒成立．
即為x+2-a≥$\frac{2}{{e}^{x}}$，即a≤x+2-$\frac{2}{{e}^{x}}$在（0，+∞）上恒成立．
由于x和-$\frac{2}{{e}^{x}}$在R上遞增，則a≤0+2-$\frac{2}{{e}^{0}}$=0，
故a≤0．
即有實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：判斷單調(diào)性和求極值，同時(shí)考查參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及不等式恒成立思想的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．