Question

4．設(shè)點F是拋物線y²=2x的焦點，過拋物線上一點P，沿x軸正方向作射線PQ∥x軸，若∠FPQ的平分線PR所在直線的斜率為-2，則點P的坐標為（2，2）．

Answer 1

分析 拋物線y²=2x的焦點為F（$\frac{1}{2}$，0），準線方程為l：x=-$\frac{1}{2}$，設(shè)直線PQ與準線交于A，由拋物線的定義知|PA|=|PF|，過F作∠FPQ的平分線PR的垂線與PQ交于Q，則|PF|=|PQ|，證明AF∥PR，即可求出點P的坐標．

解答 解：拋物線y²=2x的焦點為F（$\frac{1}{2}$，0），準線方程為l：x=-$\frac{1}{2}$，
設(shè)直線PQ與準線交于A，由拋物線的定義知|PA|=|PF|，
過F作∠FPQ的平分線PR的垂線與PQ交于Q，則|PF|=|PQ|，
∴△AFQ是直角三角形，且AF⊥FQ，
∴AF∥PR，
∴AF的斜率為-2，方程為y=-2（x-$\frac{1}{2}$），
x=-$\frac{1}{2}$時，y=2，代入y²=2x，可得x=2，
∴P（2，2），
故答案為：（2，2）．

點評 本題考查直線方程的求法，考查拋物線的簡單性質(zhì)、斜率計算公式、點斜式方程等知識點的合理運用．