Question

14．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時(shí)，有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$＞0．
（1）證明：f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；
（2）解不等式f（x²-1）+f（3-3x）＜0．

Answer 1

分析 （1）任取x₁、x₂兩數(shù)使x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推知f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），讓f（x₁）+f（-x₂）除以x₁-x₂再乘以x₁-x₂配出$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$的形式，進(jìn)而判斷出f（x₁）-f（x₂）與0的關(guān)系，進(jìn)而證明出函數(shù)的單調(diào)性．
（2）將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答 （1）證明：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則-x₂∈[-1，1]．
又f（x）是奇函數(shù)，于是f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$•（x₁-x₂）．
據(jù)已知$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)． 5分
（2）解：∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且在[-1，1]上是增函數(shù)
不等式化為f（x²-1）＜f（3x-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＜3x-3}\\{-1≤{x}^{2}-1≤1}\\{-1≤3x-3≤1}\end{array}\right.$，解得x∈（1，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用．解題時(shí)要注意把未知條件拼湊出已知條件的形式，達(dá)到解題的目的．