Question

16．函數(shù)f（x）=|x²-a²|（a＞0），f（m）=f（n），且m＜n＜0，若點(diǎn)P（m，n）到直線x+y-8=0的最大距離為$6\sqrt{2}$時(shí)，則a的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題意f（x）=|x²-a²|，利用絕對值的定義，可得m²+n²=2a²，利用基本不等式，結(jié)合點(diǎn)P（m，n）到直線x+y-8=0的最大距離為$6\sqrt{2}$時(shí)，即可求出a的值．

解答 解：y=f（x）=|x²-a²|
∵f（m）=f（n），且m＜n＜0，
∴-a＜n＜0，n＜-a．
∴a²-m²=n²-a²，即m²+n²=2a²，
∴4a²≥（m+n）²，
∴-2a≤m+n＜0，
點(diǎn)P（m，n）到直線x+y-8=0的距離為$\frac{|m+n-8|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{2a+8}{\sqrt{2}}$，
∵點(diǎn)P（m，n）到直線x+y-8=0的最大距離為$6\sqrt{2}$，
∴$\frac{2a+8}{\sqrt{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵a＞0，
∴a=2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了利用絕對值的定義脫去絕對值，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．