Question

3．設(shè)橢圓C₁與拋物線C₂的焦點(diǎn)均在x軸上，C₁的中心及C₂的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上各取兩點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表：

x	3	-2	4	$\sqrt{2}$
y	-2$\sqrt{3}$	0	-4	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

（1）求曲線C₁、C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l過拋物線C₂的焦點(diǎn)F，l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，當(dāng)$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意（-2，0），一定在橢圓C₁上，設(shè)C₁方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），可得a=2．于是橢圓C₁上任何點(diǎn)的橫坐標(biāo)|x|≤2．可判斷點(diǎn)（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）也在C₁上，代入橢圓方程即可解得b²，因此得到橢圓的方程．從而（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）一定在拋物線C₂上，設(shè)C₂的方程為y²=2px（p＞0），把其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得出．
（2）假設(shè)直線l過C₂的焦點(diǎn)F（1，0）．分類討論：當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，得出M，N的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否滿足$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0，即可，當(dāng)l的斜率存在時(shí)設(shè)為k，則l的方程為y=k（x-1）代入C₁方程并整理可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0，可得k的值即可．

解答 解：（1）由題意（-2，0），一定在橢圓C₁上，
設(shè)C₁方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則a=2，
∴橢圓C₁上任何點(diǎn)的橫坐標(biāo)|x|≤2．
∴（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）也在C₁上，代入橢圓方程$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{^{2}}=1$，
解得b²=1，
∴C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
從而（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）一定在拋物線C₂上，
設(shè)C₂的方程為y²=2px（p＞0），可得（-4）²=2p×4．
∴p=2，即C₂的方程為y²=4x．
（2）假設(shè)直線l過C₂的焦點(diǎn)F（1，0）．
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，則M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
此時(shí)$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$≠0，與已知矛盾．                               
當(dāng)l的斜率存在時(shí)設(shè)為k，則l的方程為y=k（x-1）代入C₁方程并整理得，（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
∵直線l過橢圓內(nèi)部（1，0）點(diǎn)，故必有兩交點(diǎn)．                       
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
y₁y₂=k（x₁-1）k（x₂-1）=k²（x₁x₂-x₁-x₂+1）=$\frac{-3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴k²-4=0，k=±2，
∴存在符合條件的直線l且方程為y=±2（x-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．