Question

5．已知曲線f（x）=ax³+b在x=1處的切線方程是y=3x-1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求曲線過點（-1，0）的切線的方程．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，則有f′（1）=3a，再由條件得3a=3，又f（0）=1，即可得到解析式；
（2）設(shè)切點為（m，n），則由斜率公式得到3m²=$\frac{n}{m+1}$，f（m）=n，即m³+1=n．解出m，再由點斜式方程，即可得到．

解答 解：（1）因為f′（x）=3ax²
所以f′（1）=3a，又因為函數(shù)在f（x）處的切線方程是y=3x-1
所以3a=3⇒a=1，
切點坐標(biāo)為（1，2），代入f（x）=x³+b，可得b=1
所以f（x）=x³+1；
（2）解：設(shè)切點為（m，n），
f′（x）=3x²，則3m²=$\frac{n}{m+1}$，
f（m）=n，即m³+1=n．
解得m=-1或$\frac{1}{2}$，
故切線的斜率為3或$\frac{3}{4}$．
所以由點斜式可得切線方程為y=3x+3或y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率；注意“在點處的切線”與“過點的切線”的區(qū)別．屬于中檔題．