Question

8．△ABC的三邊長分別為a，b，c，點D為BC邊上的中點，下列說法正確的是（　�。�

• A． AD＞$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{c}^{2}+^{2}）-{a}^{2}}$
• B． AD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{c}^{2}+^{2}）-{a}^{2}}$
• C． AD＜$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{c}^{2}+^{2}）-{a}^{2}}$
• D． AD≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{c}^{2}+^{2}）-{a}^{2}}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，在△ADB和△ADC中有余弦定理的推論求出cos∠ABD、cos∠ADC，由cos∠ABD+cos∠ADC=0整理得答案．

解答 解：如圖，

設AD=x，
則$cos∠ADB=\frac{（\frac{a}{2}）^{2}+{x}^{2}-{c}^{2}}{ax}$，$cos∠ADC=\frac{（\frac{a}{2}）^{2}+{x}^{2}-^{2}}{ax}$，
∴cos∠ABD+cos∠ADC=$\frac{\frac{{a}^{2}}{2}+2{x}^{2}-^{2}-{c}^{2}}{ax}=0$，
即$2{x}^{2}=^{2}+{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}$，${x}^{2}=\frac{1}{4}（2^{2}+2{c}^{2}-{a}^{2}）$，
∴$x=\frac{1}{2}\sqrt{2（^{2}+{c}^{2}）-{a}^{2}}$．
故選：B．

點評 本題考查余弦定理的應用，考查了三角函數(shù)的誘導公式，是基礎題．