Question

8．如圖，已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左右焦點(diǎn)，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，過(guò)F₂的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，三角形F₁BF₂面積的最大值為$\sqrt{{a}^{2}-1}$（a＞1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程（用a表示）；
（Ⅱ）求三角形F₁AB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，即可求橢圓C的方程（用a表示）；
（Ⅱ）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，求出三角形F₁AB面積，分類討論，即可求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，橢圓的上頂點(diǎn)為（0，1），下頂點(diǎn)為（0，-1），
當(dāng)B與上（或下）頂點(diǎn)重合時(shí)，三角形F₁BF₂面積最大S=$\frac{1}{2}•2c•1$=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）三角形F₁AB面積S=$\frac{1}{2}•AB•2csinα$=c•AB•sinα（α為F₂B與x軸正向所成的角）
設(shè)F₂（c，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB：y=k（x-c），
代入橢圓方程可得（1+a²k²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$
∴AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2a}{1+（{a}^{2}-1）si{n}^{2}α}$，
∴S=c•AB•sinα=$\frac{2ac}{\frac{1}{sinα}+（{a}^{2}-1）sinα}$，
a$≥\sqrt{2}$時(shí)，S≤$\frac{2ac}{2\sqrt{{a}^{2}-1}}$=a；
1＜a＜$\sqrt{2}$時(shí)，S≤$\frac{2ac}{{a}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查求最值，屬于中檔題．