Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$，離心率$e=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，且過點(diǎn)$（2\sqrt{2}，\frac{1}{3}）$，
（1）求橢圓方程；
（2）Rt△ABC以A（0，b）為直角頂點(diǎn)，邊AB，BC與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，以及點(diǎn)滿足方程，解方程，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）分別設(shè)出AB，AC的方程，代入橢圓方程，求得B，C的橫坐標(biāo)，運(yùn)用弦長公式，以及三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（1）由$e=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，又a²-b²=c²，得a=3b，
把點(diǎn)$（2\sqrt{2}，\frac{1}{3}）$帶入橢圓方程可得：$\frac{{{{（2\sqrt{2}）}^2}}}{{9{b^2}}}+\frac{{{{（\frac{1}{3}）}^2}}}{b^2}=1⇒b=1$，
所以橢圓方程為：$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；
（2）不妨設(shè)AB的方程y=kx+1，
則AC的方程為$y=-\frac{1}{k}x+1$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{x^2}{9}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（1+9k²）x²+18kx=0$⇒{x_B}=\frac{-18k}{{1+9{k^2}}}$，
k用$-\frac{1}{k}$代入，可得${x_C}=\frac{18k}{{9+{k^2}}}$，
從而有$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{18k}{{1+9{k^2}}}，|{AC}|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\frac{18k}{{9+{k^2}}}$，
于是 $S{\;}_{△ABC}=\frac{1}{2}|{AB}||{AC}|=162\frac{{k（1+{k^2}）}}{{（1+9{k^2}）（9+{k^2}）}}=162\frac{{k+\frac{1}{k}}}{{9（{k^2}+\frac{1}{k^2}）+82}}$．
令$t=k+\frac{1}{k}≥2$，有$S{\;}_{△ABC}=\frac{162t}{{9{t^2}+64}}=\frac{162}{{9t+\frac{64}{t}}}≤\frac{27}{8}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$t=\frac{8}{3}＞2$，${（{S_{△ABC}}）_{max}}=\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得交點(diǎn)，同時(shí)考查三角形的面積公式和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．