Question

20．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ+r．
（Ⅰ）求實數(shù)r的值和{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1-b_n=log₂a_n+1，求b_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）b_n+1-b_n=log₂a_n+1=n．利用“累加求和”可得b_n，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=2ⁿ+r，
∴a₁=S₁=2+r，a₂=S₂-S₁=2，a₃=S₃-S₂=4．
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，即2²=4（2+r），
∴r=-1．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵${a}_{n+1}={2}^{n}$，
∴b_n+1-b_n=log₂a_n+1=n．
當n≥2時，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+（n-2）+…+（2-1）+1
=$\frac{（n-1）（n-1+1）}{2}$+1
=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}n$+1．
又n=1符合上式，
∴b_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}n$+1．

點評 本題主要考查了遞推式、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“累加求和”等基礎知識；考查推理論證與運算求解能力，屬于中檔題．