Question

9．如圖，已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，A₁、A₂分別為其左右頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為k（k≠0）的直線交雙曲線C于P₁、P₂，則A₁P₁、A₁P₂、A₂P₁、A₂P₂這四條直線的斜率乘積為（　�。�

• A． 8
• B． 2
• C． 6
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)，利用斜率公式，結(jié)合離心率為$\sqrt{3}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)P₁（x，y），P₂（m，n），則
A₁P₁、A₁P₂、A₂P₁、A₂P₂這四條直線的斜率乘積為$\frac{y}{x+a}•\frac{n}{m+a}•\frac{y}{x-a}•\frac{n}{m-a}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}•\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$
=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∵離心率為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=4，
∴A₁P₁、A₁P₂、A₂P₁、A₂P₂這四條直線的斜率乘積為4，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．